题文

已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k- 1 2 ）=0． （1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实根． （2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：方程化为一般形式为：x2-（2k+1）x+4k-2=0， ∵△=（2k+1）2-4（4k-2）=（2k-3）2， 而（2k-3）2≥0， ∴△≥0， 所以无论k取任何实数，方程总有两个实数根； （2）x2-（2k+1）x+4k-2=0， 整理得（x-2）[x-（2k-1）]=0， ∴x1=2，x2=2k-1， 当a=4为等腰△ABC的底边，则有b=c， 因为b、c恰是这个方程的两根，则2=2k-1， 解得k= 3 2 ，则三角形的三边长分别为：2，2，4， ∵2+2=4，这不满足三角形三边的关系，舍去； 当a=4为等腰△ABC的腰， 因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k-1=4， 则三角形三边长分别为：2，4，4， 此时三角形的周长为2+4+4=10． 所以△ABC的周长为10．

据专家权威分析，试题“已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-12）=0．（1）求证：无论k取什么实数值..”主要考查你对  一元二次方程根的判别式  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一元二次方程根的判别式

考点名称：一元二次方程根的判别式

• 根的判别式：
  一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
  定理1  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
  定理2  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
  定理3  ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。
  
  根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
  定理4  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
  定理5  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
  定理6  ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
  注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
  （2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
  （3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
  （4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。

• 根的判别式有以下应用：
  ①不解一元二次方程，判断根的情况。
  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
  ④应用根的判别式判断三角形的形状。
  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
  ⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。