题文

关于二次函数y=mx2-x-m+1（m≠0）．以下结论：①不论m取何值，抛物线总经过点（1，0）；②若m＜0，抛物线交x轴于A、B两点，则AB＞2；③当x=m时，函数值y≥0；④若m＞1，则当x＞1时，y随x的增大而增大．其中正确的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④

题型：单选题  难度：中档

答案

①由二次函数y=mx2-x-m+1（m≠0），得 y=[m（x+1）-1]（x-1）； 令y=0，则m（x+1）-1=0或x-1=0，即x1= 1-m m ，x2=1， 所以该函数经过点（ 1-m m ，0）、（1，0）， ∴无论m取何值，抛物线总经过点（1，0）； 故本选项正确； ②若m＜0时，AB=|x2-x1|=|1- 1-m m |=|2- 1 m |＞|2|=2，即AB＞2；故本选项正确； ③根据题意，得 y=m3-2m+1=（m-1）（m2+m-1）（m≠0）， ∵m2＞0， ∴m2+m-1＞m-1， 当m-1≤0，即m≤1时， （m-1）（m2+m-1）≤（m-1）2， ∵（m-1）2≥0， ∴（m-1）（m2+m-1）≤0或（m-1）（m2+m-1）≥0， 即y≤0或y≥0； 故本选项错误； ④当m＞1时，x1= 1-m m ＜0＜x2，且抛物线该抛物线开口向上， ∴当x＞1时，该函数在区间[1，+∞）上是增函数，即y随x的增大而增大． 故本选项正确； 综上所述，正确的说法有①②④． 故选C．

据专家权威分析，试题“关于二次函数y=mx2-x-m+1（m≠0）．以下结论：①不论m取何值，抛物线总..”主要考查你对  二次函数的定义  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
  
  二次函数的一般形式的结构特征：
  ①函数的关系式是整式；
  ②自变量的最高次数是2；
  ③二次项系数不等于零。

• 二次函数的判定：
  二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
  当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
  判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。