题文

如图，直线y=hx+d与x轴和y轴分别相交于点A(-1,0),B(0,1),与双曲线y=在第一象限相交于点C；以AC为斜边、为内角的直角三角形，与以CO为对角线、一边在x轴上的矩形面积相等；点C,P在以B为顶点的抛物线y=上；直线y=hx+d、双曲线y=和抛物线同时经过两个不同的点C，D （1）确定t的值 （2）确定m , n , k的值 （3）若无论a , b , c何值，抛物线都不经点P，请确定P坐标（12分）

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）2 （2）m="1" n="0" k=1 （3）符合条件的点P为（0，1）或（－2，5）

解： （1）直线过点A，B，则0=－h+d和1=d,即y="x+1.   " 1分 双曲线y=经过点C（x1，y1），x1y1=t． 以AC为斜边，∠CAO为内角的直角三角形的面积为×y1×(1+x1); 以CO为对角线的矩形面积为x1y1， ×y1×(1+x1)＝x1y1，因为x1，y1都不等于0，故得x1＝1，所以y1=2. 故有，，即t="2."     2分 （2）∵B是抛物线y＝mx2＋nx＋k的顶点，∴有－， 得到n=0，k="1."   3分 ∵C是抛物线y＝mx2＋nx＋k上的点，∴有2＝m(1)2+1,得m=1．    4分 （3）设点P的横坐标为p，则纵坐标为p2+1. ∵抛物线y=ax2+bx+c经过两个不同的点C，D， 其中求得D点坐标为（－2，－1）． 5分. 解法一： 故 2＝a＋b＋c， －1＝4a－2b＋c．     解之得，b＝a＋1, c＝1－2a. 6分 （说明：如用b表示a，c，或用c表示a，b，均可，后续参照得分） ∴y=ax2＋( a＋1)x＋（1－2a）        于是：  p2+1≠a p2＋（a＋1）p＋（1－2a）    7分 ∴无论a取什么值都有p2－p≠（p2＋p－2）a．  8分 （或者，令p2-p="(p2+p-2)a   " 7分 ∵抛物线y=ax2+bx+c不经过P点， ∴此方程无解，或有解但不合题意  8分）  ．   故∵a≠０，∴① 解之p＝0，p＝1，并且p≠1，p≠－2.得p＝0.   9分 ∴符合题意的P点为（0，1）. …………10分 ②，解之p＝1，p＝－2，并且p≠0，p≠1. 得p＝－2.   11分 符合题意的P点为（－2，5）． 12分 ∴符合题意的P点有两个（0，1）和（－2，5）. 解法二： 则有（a－1）p2+(a+1) p－2a="0   " 7分 即〔（a－1）p+2a〕(p－1)=0 有p－1=0时，得p=1，为（1，2）此即C点，在y=ax2+bx+c上.    8分 或（a－1）p+2a=0，即（p+2）a=p 当p=0时a=0与a≠0矛盾 9分 得点P（0，1）   10分 或者p=－2时，无解  11分 得点P（－2，5） 12分 故对任意a，b，c，抛物线y=ax2+bx+c都不经过（0，1）和（－2，5） 解法三： 如图, 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线CD上除C，D外的其他点． (只经过直线CD上的C，D点). 6分 由 7分 解得交点为C（1，2），B（0，1）． 故符合题意的点P为（0，1）.     8分 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x＝－2上除D外的其他点. 9分 由    10分 解得交点P为（－2，5）．……11分 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x＝1上除C外的其他点, 而解得交点为C（1，2）. ……12分 故符合条件的点P为（0，1）或（－2，5）. O   （说明：1.仅由图形看出一个点的坐标给1分，二个给2分. 2.解题过程叙述基本清楚即可）

据专家权威分析，试题“如图，直线y=hx+d与x轴和y轴分别相交于点A(-1,0),B(0,1),与双曲线..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。