如图①，二次函数的抛物线的顶点坐标C，与x轴的交于A(1,0)、B(-3,0)两点，与y轴交于点D（0,3）小题1:求这个抛物线的解析式小题2:如图②，过点A的直线与抛物线交于点E，交轴于点F-八年级数学
题文
| 如图①，二次函数的抛物线的顶点坐标C，与x轴的交于A(1,0)、B(-3,0)两点，与y轴交于点D（0,3） 小题1:求这个抛物线的解析式 小题2:如图②，过点A的直线与抛物线交于点E，交  轴于点F，其中点E的横坐标为-2，若直线 为抛物线的对称轴，点G为直线上的一动点，则 轴上是否存在一点H，使 四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；小题3:如图③，连接AC交y轴于M，在x轴上是否存在点P，使以P、C、M为顶点的三角形与△AOM相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.  图① 图②  图③ |
答案
小题1:设所求抛物线的解析式为：  ,将A(1,0)、B(-3,0)、 D（0,3）代入，得 …………………………………………2分即所求抛物线的解析式为：  ……………………………3分小题2:如图④，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称， 在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………① 设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0）， ∵点E在抛物线上且点E的横坐标为-2，将x＝-2，代入抛物线 ，得 ∴点E坐标为（-2，3）………………………………………………………………4分 又∵抛物线 图象分别与x轴、y轴交于点A(1,0)、B(-3,0)、D（0，3），所以顶点C（-1,4） ∴抛物线的对称轴直线PQ为：直线x＝-1， [中国教#&~@育出%版 ∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE……………………………………………② 分别将点A（1，0）、点E（-2，3） 代入y＝kx＋b，得：  解得： 过A、E两点的一次函数解析式为： y＝-x＋1 ∴当x＝0时，y＝1 ∴点F坐标为（0，1）……………………5分 ∴  =2………………………………………③ 又∵点F与点I关于x轴对称， ∴点I坐标为（0，-1） ∴  ……………………………………④又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值， ∴只要使DG＋GH＋HI最小即可 ……………………………………6分 由图形的对称性和①、②、③，可知， DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI 只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小 设过E（-2，3）、I（0，-1）两点的函数解析式为：  ，分别将点E（-2，3）、点I（0，-1）代入  ，得： 解得： 过I、E两点的一次函数解析式为：y＝-2x-1 ∴当x＝-1时，y＝1；当y＝0时，x＝-  ； ∴点G坐标为（-1，1），点H坐标为（- ，0）∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI 由③和④，可知：  DF＋EI＝  ∴四边形DFHG的周长最小为 . …………………………………………7分小题3:如图⑤，  由(2)可知，点A(1,0)，点C（-1,4），设过A(1,0)，点C（-1,4）两点的函数解析式为：  ，得： 解得：  ，过A、C两点的一次函数解析式为：y＝-2x+2,当x＝0时，y＝2，即M的坐标为（0,2）； 由图可知，△AOM为直角三角形，且  ， ………………8分要使，△AOM与△PCM相似，只要使△PCM为直角三角形，且两直角边之比为1:2即可，设P(  ,0)，CM= ，且∠CPM不可能为90°时，因此可分两种情况讨论； ……………………………………………………………………………9分①当∠CMP=90°时，CM= ，若 则 ，可求的P（-4,0），则CP=5， ，即P（-4,0）成立，若 由图可判断不成立；……………………………………………………………………………………10分②当∠PCM=90°时，CM= ，若 则 ，可求出P（-3,0），则PM=  ，显然不成立，若 则 ，更不可能成立.……11分综上所述，存在以P、C、M为顶点的三角形与△AOM相似，点P的坐标为（-4,0）12分
上一篇：如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．小题1:求m的值；小题2:求点B的坐标；小题3:该二次函数图象上有一点D（x，y）（其-九年级数学
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