在平面直角坐标系中,抛物线与轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,0),过顶点C作CH⊥x轴于点H.(1)直接填写:=,b=,顶点C的坐标为;(2)在轴上是否存在点D,使得△ACD是以AC为斜-九年级数学
题文
在平面直角坐标系中,抛物线与轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,0),过顶点C作CH⊥x轴于点H. (1)直接填写:= ,b= ,顶点C的坐标为 ; (2)在轴上是否存在点D,使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由; (3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合),PQ⊥AC于点Q,当△PCQ与△ACH相似时,求点P的坐标. |
答案
(1),顶点C的坐标为(-1,4) (2)假设在y轴上存在满足条件的点D, 过点C作CE⊥y轴于点E. 由∠CDA=90°得,∠1+∠2=90°. 又∠2+∠3=90°, ∴∠3=∠1. 又∵∠CED="∠DOA" =90°, ∴△CED ∽△DOA,∴. 设D(0,c),则. 变形得,解之得. 综合上述:在y轴上存在点D(0,3)或(0,1), 使△ACD是以AC为斜边的直角三角形. (3)①若点P在对称轴右侧(如图①),只能是△PCQ∽△CAH,得∠QCP=∠CAH. 延长CP交x轴于M,∴AM=CM, ∴AM2=CM2. 设M(m,0),则( m+3)2=42+(m+1)2,∴m=2,即M(2,0). 设直线CM的解析式为y=k1x+b1, 则, 解之得,. ∴直线CM的解析式. 联立,解之得或(舍去).∴. ②若点P在对称轴左侧(如图②),只能是△PCQ∽△ACH,得∠PCQ=∠ACH. 过A作CA的垂线交PC于点F,作FN⊥x轴于点N. 由△CFA∽△CAH得, 由△FNA∽△AHC得. ∴, 点F坐标为(-5,1). …………………………………10分 设直线CF的解析式为y=k2x+b2,则,解之得. ∴直线CF的解析式. 联立 ,解之得 或 (舍去). ∴. ∴满足条件的点P坐标为或 |
(1)将A(-3,0)、B(1,0),代入y=ax2+bx+3求出即可,再利用平方法求出顶点坐标即可; (2)首先证明△CED∽△DOA,得出y轴上存在点D(0,3)或(0,1),即可得出△ACD是以AC为斜边 的直角三角形. (3)首先求出直线CM的解析式为y=k1x+b1,再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标,再利用若点P 在对称轴左侧(如图②),只能是△PCQ∽△ACH,得∠PCQ=∠ACH得出答案即可. |
据专家权威分析,试题“在平面直角坐标系中,抛物线与轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,..”主要考查你对 二次函数的定义,二次函数的图像,二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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