题文

已知：抛物线y=x2+（a-2）x-2a（a为常数，且a>0）。 （1）求证：抛物线与x轴有两个交点； （2）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴的交点为C， ①当AC=2时，求抛物线的解析式； ②将①中的抛物线沿x轴正方向平移t个单位（t>0），同时将直线l：y=3x沿y轴正方向平移t个单位，平移后的直线为l′，移动后A、B的对应点分别为A′、B′，当t为何值时，在直线l′上存在点P，使得△A′B′P为以A′B′为直角边的等腰直角三角形？

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）令y=0，则x2+（a-2）x-2a =0， △=（a-2）2+8a=（a+2）2， ∵a>0， ∴a+2>0， ∴△>0， ∴方程x2+（a-2）x-2a=0，有两个不相等的实数根， ∴抛物线与x轴有两个交点； （2）解：①令y=0，则x2+（a-2）x-2a=0， 解方程，得x1=2，x2=-a， ∵A在B左侧，且a>0， ∴抛物线与x轴的两个交点为A（-a，0），B（2，0）， ∵抛物线与y轴的交点为C， ∴C（0，-2a）， ∴AO=a，CO=2a， 在Rt△AOC中，AO2+ CO2=（2）2 a2+（2a）2=20， 可得a=±2， ∵a>0， ∴a=2， ∴抛物线的解析式为y=x2-4， ②依题意，可得直线l′的解析式为y=3x+t， A′（t-2，0），B′（t+2，0），A′B′=AB=4， ∵△A′B′P为以A′B′为直角边的等腰直角三角形， ∴当∠PA′B′=90°时，点P的坐标为（t-2，4）或（t-2，-4） ∴， 解得t=5/2或t=1/2， 当∠PB′A′=90°时，点P的坐标为（t+2，4）或（t+2，-4） ∴， 解得t=-5/2或t=-1/2（不合题意，舍去）， 综上所述，t=5/2或t=1/2。

据专家权威分析，试题“已知：抛物线y=x2+（a-2）x-2a（a为常数，且a>0）。（1）求证：抛物线..”主要考查你对  二次函数的图像，求二次函数的解析式及二次函数的应用，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，平移  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像求二次函数的解析式及二次函数的应用等腰三角形的性质，等腰三角形的判定平移

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
  当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
  h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
  
  开口：
  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
  当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

• 决定对称轴位置的因素：
  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
  当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
  可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。
  事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
  
  决定与y轴交点的因素:
  常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
  二次函数图像与y轴交于（0,C）
  注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。
  
  与x轴交点个数：
  a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
  k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
  a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。
  当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k
  当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x<h范围内是增函数，在x>h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k
  当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。