题文

△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=2，把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），△ABC可以绕点O作任意角度的旋转。

（1）当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标； （2）如果抛物线（a≠0）的对称轴经过点C，请你探究： ①当时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由； ②设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵点O是AB的中点， ∴， 设点B的横坐标是x（x>0），则， 解得（舍去）， ∴点B的横坐标是； （2）①当时， 得（＊），， 以下分两种情况讨论： 情况1：设点C在第一象限（如图甲），则点C的横坐标为，， 由此，可求得点C的坐标为， 点A的坐标为， ∵A，B两点关于原点对称， ∴点B的坐标为， 将点A的横坐标代入（＊）式右边，计算得，即等于点A的纵坐标； 将点B的横坐标代入（＊）式右边，计算得-，即等于点B的纵坐标， ∴在这种情况下，A，B两点都在抛物线上； 情况2：设点C在第四象限（如图乙），则点C的坐标为， 点A的坐标为，点B的坐标为， 经计算，A，B两点都不在这条抛物线上； ②存在；m的值是1或-1。 ，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1， 当m=±1时，点C在x轴上， 此时A，B两点都在y轴上， 因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上。

据专家权威分析，试题“△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=2，把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中..”主要考查你对  二次函数的图像，图形旋转  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像图形旋转

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
  当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
  h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
  
  开口：
  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
  当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

• 决定对称轴位置的因素：
  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号