题文

已知抛物线y=x2-2x+n与x轴交于不同的两点A，B，与y轴的交点在x轴的上方，其顶点是C． （1）求实数n的取值范围； （2）求顶点C的坐标； （3）求线段AB的长； （4）当AB= 2 时，求抛物线的解析式．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）令x2-2x+n=0，由题意知，方程x2-2x+n=0有两不等实根， ∴△=b2-4ac=（-2）2-4n＞0 解得，n＜1． ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴n＞0． ∴n的取值范围是0＜n＜1．（2分） （2）由顶点坐标公式xc=- b 2a =1，yc= 4ac-b2 4a =n-1， ∴顶点坐标公式为C（1，n-1）；（3分） （3）由于A，B在x轴上，令x2-2x+n=0， ∵x=1± n ， ∴∠ACB=90°， ∴AB=2 1-n （4分） （4）依题意，得2 1-n = 2 解得，n= 1 2 （5分） ∴抛物线的解析式为：y=x2-2x+ 1 2 （6分）

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=x2-2x+n与x轴交于不同的两点A，B，与y轴的交点在x轴..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

• 二次函数与一元二次方程的关系：
  函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
  那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
  1、从形式上看：
  二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
  一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
  2、从内容上看：
  二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
  3、相互关系：
  二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
  如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

• 二次函数交点与二次方程根的关系：
  抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：
  1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；
  2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
  3、若△＜0，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有公共点--相离。
  若抛物线y=ax²+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=-，x₁x₂=。

• 点拨：
  ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
  ②若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁,x₂(x₁<x₂),则抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为（x₁,0）,(x₂,0),对称轴为x=x₁+x₂/2。
  ③若a>0,当x<x₁,或x>x₂时，y>0;当x₁<x<x₂时，y<0。
  若a< 0,当x₁<x<x₂时，y>0;当x<x₁或x>x₂时，y<0。
  ④如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于M（x₁，0），N(x₂，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。