题文

已知A1，A3是抛物线y=x2上两点，A1B1，A3B3分别垂直于x轴，垂足分别为B1，B3，点C是线段A1A3的中点，过点C作CB2垂直于x轴，垂足为B2，CB2交抛物线于点A2．

（1）如图1，已知A1，A3两点的横坐标依次为1，3，求线段CA2的长； （2）如图2，若将抛物线y=x2改为抛物线y=x2﹣x+1，且A1，A2，A3三点的横坐标为连续的整数，其他条件不变，求线段CA2的长； （3）若将抛物线y=x2改为抛物线y=ax2+bx+c（a＞0），A1，A2，A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，试猜想线段CA2的长（用a，b，c表示，并直接写出答案）．

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵A1，A3的横坐标依次为1，3， ∴A1B1=×12=，A3B3=×32=， 由已知可得A1B1∥CB2∥A3B3． 又∵C为A1A3的中点， ∴B2为B1B3的中点， ∴B2点的横坐标为2， ∴A2B2=×22=2， 而CB2=（A1B1+A3B3） =（+）+ ∴CA2=CB2﹣A2B2=﹣2=； （2）设A1，A2，A3三点的横坐标依次为n﹣1，n，n+1， 则A1B1=（n﹣1）2﹣（n﹣1）+1，A2B2=n2﹣n+1， A3B3=（n+1）2﹣（n+1）+1， 由已知可得A1B1∥A3B3∥AB2， ∴CB2=（A1B1+A3B3） =[（n﹣1）2﹣（n﹣1）+1+（n+1）2﹣（n+1）+1] =n2﹣n+， ∴CA2=CB2﹣A2B2=n2﹣n+﹣（n2﹣n+1）=； （3）当a＞0时，CA2=a．

据专家权威分析，试题“已知A1，A3是抛物线y=x2上两点，A1B1，A3B3分别垂直于x轴，垂足分..”主要考查你对  二次函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：