如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存-九年级数学
题文
如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0)两点. (1)求该抛物线的解析式; (2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由. |
答案
解:(1)将A(1,0),B(﹣3,0)代y=﹣x2+bx+c中得 ∴ ∴抛物线解析式为:y=﹣x2﹣2x+3; (2)存在 理由如下:由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称 ∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点,此时△AQC周长最小 ∵y=﹣x2﹣2x+3 ∴C的坐标为:(0,3)直线BC解析式为:y=x+3Q点坐标即为 解得 ∴Q(﹣1,2); (3)存在.理由如下:设P点(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣3<x<0) ∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣若S四边形BPCO有最大值,则S△BPC就最大, ∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC=BEPE+OE(PE+OC)=(x+3)(﹣x2﹣2x+3)+(﹣x)(﹣x2﹣2x+3+3)= 当x=﹣时,S四边形BPCO最大值= ∴S△BPC最大=当x=﹣时,﹣x2﹣2x+3= ∴点P坐标为(﹣,) |
据专家权威分析,试题“如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0)两点.(1)求该..”主要考查你对 二次函数的图像,求二次函数的解析式及二次函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
二次函数的图像求二次函数的解析式及二次函数的应用
考点名称:二次函数的图像
- 二次函数的图像
是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征:
①有开口方向,a表示开口方向:a>0时,抛物线开口向上;a<0时,抛物线开口向下;
②有对称轴;
③有顶点;
④c 表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,c)。 二次函数图像性质:
轴对称:
二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地,当b=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。
a,b同号,对称轴在y轴左侧
b=0,对称轴是y轴
a,b异号,对称轴在y轴右侧
顶点:
二次函数图像有一个顶点P,坐标为P ( h,k )
当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
h=-b/2a, k=(4ac-b^2)/4a。
开口:
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则二次函数图像的开口越小。- 决定对称轴位置的因素:
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0,所以a、b要同号
当a>0,与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0 ),对称轴在y轴右。
事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
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