题文

我们知道，对于二次函数y=a（x+m）2+k的图象，可由函数y=ax2的图象进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我们称函数y=ax2为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数y=a（x+m）2+k为“基本函数”y=ax2的“朋友函数”．左右、上下平移的路径称为朋友路径，对应点之间的线段距离 m2+k2 称为朋友距离． 由此，我们所学的函数：二次函数y=ax2，函数y=kx和反比例函数y= k x 都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”． 如一次函数y=2x-5是基本函数y=2x的朋友函数，由y=2x-5=2（x-1）-3朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距离= 12+32 = 10 ． （1）探究一：小明同学经过思考后，为函数y=2x-5又找到了一条朋友路径为由基本函数y=2x先向______，再向下平移7单位，相应的朋友距离为______． （2）探究二：已知函数y=x2-6x+5，求它的基本函数，朋友路径，和相应的朋友距离． （3）探究三：为函数y= 3x+4 x+1 和它的基本函数y= 1 x ，找到朋友路径，并求相应的朋友距离．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）y=2（x+1）-7， ∴向左平移1个单位（2分）； 朋友距离为 12+72 =5 2 （2分）； （2）基本函数为y=x2（1分）； ∵原抛物线的顶点坐标为（0，0），新抛物线的顶点坐标为（3，-4）， ∴朋友路径为先向右平移3个单位，再向下平移4个单位（1分）； 相应的朋友距离 32+42 =5（1分）； （3）函数y= 3x+4 x+1 可化为y= 1 x+1 +3， ∴朋友路径为先向左平移1个单位，再向上平移3个单位．相应的朋友距离为 12+32 = 10 ．（3分）

据专家权威分析，试题“我们知道，对于二次函数y=a（x+m）2+k的图象，可由函数y=ax2的图象..”主要考查你对  二次函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )