题文

已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-7x+12的形状相同，顶点在直线x=1，且顶点到x轴的距离为 3 ，则此抛物线的解析式为______．

题型：填空题  难度：中档

答案

∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-7x+12的形状相同， ∴a=±1， ∴抛物线解析式为y=±x2+bx+c， ∵抛物线顶点在直线x=1上， ∴当a=-1时，- b 2×(-1) =1， ∴b=2， 当a=1时，- b 2×1 =1， 解得：b=-2， ∴抛物线解析式为y=-x2+2x+c=-（x-1）2+c+1，或y=x2-2x+c=（x-1）2+c-1， ∵抛物线顶点到x轴的距离为 3 ∴c-1=| 3 |， ∴c= 3 +1或c=1- 3 ∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+ 3 +1或y=-x2+2x+1- 3 或y=x2-2x+ 3 +1或y=x2-2x+1- 3 ．

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-7x+12的形状相同，顶点在直线..”主要考查你对  二次函数的图像，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
  当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
  h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
  
  开口：
  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
  当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

• 决定对称轴位置的因素：
  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
  当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
  可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。
  事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
  
  决定与y轴交点的因素:
  常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
  二次函数图像与y轴交于（0,C）
  注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。
  
  与x轴交点个数：
  a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
  k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
  a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。
  当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k