题文

小明为了通过描点法作出函数y=x2-x+1的图象，先取自变量x的7个值满足： x2-x1=x3-x2=…=x7-x6=d，再分别算出对应的y值，列出表：  x  x1 x2  x3  x4 x5  x6 x7  y  1 3   7 13  21  31   43 记m1=y2-y1，m2=y3-y2，m3=y4-y3，m4=y5-y4，…；s1=m2-m1，s2=m3-m2，s3=m4-m3，… （1）判断s1、s2、s3之间关系，并说明理由； （2）若将函数“y=x2-x+1”改为“y=ax2+bx+c（a≠0）”，列出表： x  x1  x2  x3  x4 x5 x6  x7  y  y1  y2 y3 y4 y5 y6  y7 其他条件不变，判断s1、s2、s3之间关系，并说明理由； （3）小明为了通过描点法作出函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，列出表：  x  x1 x2  x3  x4 x5  x6 x7  y  10 50   110 190  290  412   550 由于小明的粗心，表中有一个y值算错了，请指出算错的y值（直接写答案）．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）s1=s2=s3．m1=y2-y1=3-1=2， 同理m2=4，m3=6，m4=8． ∴s1=m2-m1=4-2=2， 同理s2=2，s3=2． ∴s1=s2=s3． （2）s1=s2=s3． 方法一：m1=y2-y1=ax22+bx2+c-（ax12+bx1+c） =d[a（x2+x1）+b]． m2=y3-y2=ax32+bx3+c-（ax22+bx2+c） =d[a（x3+x2）+b]． 同理m3=d[a（x4+x3）+b]． m4=d[a（x5+x4）+b]． s1=m2-m1=d[a（x3+x2）+b]-d[a（x2+x1）+b] =2ad2． 同理s2=2ad2． s3=2ad2． ∴s1=s2=s3． 方法二：∵x2-x1=d， ∴x2=x1+d， ∴m1=y2-y1=a（x1+d）2+b（x1+d）+c-（ax12+bx1+c） =d[a（2x1+d）+b]． 又∵x3-x2=d， ∴x3=x2+d， ∴m2=y3-y2=a（x2+d）2+b（x2+d）+c-（ax22+bx2+c） =d[a（2x2+d）+b]． 同理m3=d[a（2x3+d）+b]． m4=d[a（2x4+d）+b]． s1=m2-m1=d[a（2x2+d）+b]-d[a（2x1+d）+b] =2ad2． 同理s2=2ad2．s3=2ad2． ∴s1=s2=s3． （3）412．

据专家权威分析，试题“小明为了通过描点法作出函数y=x2-x+1的图象，先取自变量x的7个值..”主要考查你对  二次函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
  当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
  h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
  
  开口：
  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
  当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

• 决定对称轴位置的因素：
  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
  当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号