题文

已知二次函数y=x2+bx-3的图象经过点P（-2，5） （1）求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围； （2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）在这个二次函数的图象上， ①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由； ②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）把（-2，5）代入二次函数y=x2+bx-3得：5=4-2b-3， ∴b=-2， y=x2-2x-3=（x-1）2-4， ∴抛物线的开口方向向上，对称轴是直线x=1， 把x=1代入得：y=-4， 把x=3代入得：y=0， ∴当1＜x≤3时y的取值范围是-4＜y≤0， 答：b的值是-2，当1＜x≤3时y的取值范围是-4＜y≤0． （2）①答：当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长． 理由是当m=4时，P1（4，y1）、P2（5，y2）、P3（6，y3）， 代入抛物线的解析式得：y1=5，y2=12，y3=21， ∵5+12＜21， ∴当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长． ②理由是：∵把P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）代入y=x2-2x-3=（x-1）2-4得： ∴y1=（m-1）2-4，y2=（m+1-1）2-4，y3=（m+2-1）2-4， ∴y1+y2-y3=（m-1）2-4+（m+1-1）2-4-[（m+2-1）2-4]=（m-2）2-8， ∵m≥5， ∴（m-2）2-8＞0， ∴y1+y2＞y3， 根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边）， ∴当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长．

据专家权威分析，试题“已知二次函数y=x2+bx-3的图象经过点P（-2，5）（1）求b的值并写出当1..”主要考查你对  二次函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
  当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
  h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
  
  开口：
  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
  当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

• 决定对称轴位置的因素：
  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
  当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
  可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。
  事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
  
  决定与y轴交点的因素:
  常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
  二次函数图像与y轴交于（0,C）
  注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。
  
  与x轴交点个数：
  a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
  k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
  a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。
  当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k
  当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x<h范围内是增函数，在x>h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k
  当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。