题文

如图1，将△ABC的三个顶点的横坐标同时乘以-1得到三个新的顶点A′，B′，C′，则△ABC与△A′B′C′关于y轴对称（对称变换）；如图2，将⊙O（x2+y2=2）向上平移2个单位，在向右平移3个单位得到⊙A （x-3）2+（y-2）2=2（平移变换）；如图3，把y=x2的图象上点的横坐标不变，所有点的纵坐标同时乘以4得到一个新图象，则新图象的解析式为 1 4 y=x2，即y=4x2（伸缩变换）．试回答问题： （1）y=x2-x+1的图象关于原点对称图象的解析式为______； （2）将y=- 1 x 的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的图象的解析式为______； （3）将y=5x+1的图象所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1 5 ，得到的图象的解析式为______； （4）试探究：抛物线y=3x2-6x+1是由抛物线y=x2通过怎样的变换而得到的？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）关于原点对称，那么所求图象的开口向下，开口大小不变， ∴a=-1， ∵变换后对称轴在y轴左侧， ∴b=-1， ∵变换后与y轴交于负半轴， ∴c=-1， ∴y=-x2-x-1； （2）y=- 1 x+3 -4； （3）∵横坐标缩短为原来的 1 5 ， ∴解析式为：y=25x+1； （4）y=3x2-6x+1=3（x-1）2-2， ∴ y 3 =（x-1）2- 2 3 ， ∴y=x2向右平移1个单位，再向下平移 2 3 个单位，得：y=(x-1)2- 2 3 ， 那么横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍可得抛物线y=3x2-6x+1．

据专家权威分析，试题“如图1，将△ABC的三个顶点的横坐标同时乘以-1得到三个新的顶点A′，..”主要考查你对  二次函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
  当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
  h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
  
  开口：
  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
  当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

• 决定对称轴位置的因素：
  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
  当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
  可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。
  事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
  
  决定与y轴交点的因素:
  常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
  二次函数图像与y轴交于（0,C）
  注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。
  
  与x轴交点个数：
  a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
  k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
  a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。