题文

如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a= 1 2 时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．那么，其中正确的结论是______．

题型：填空题  难度：中档

答案

①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3， ∴AB=4， ∴对称轴x=- b 2a =1， 即2a+b=0； ②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而- b 2a ＞0 ∴b＜0， ∵对称轴x=1， ∴当x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0； ③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3， ∴当x=2时y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 又∵b＜0， ∴4a+b+c＜0； ④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半； D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值． 当x=1时，y=a+b+c， 即|a+b+c|=2， ∵当x=1时y＜0， ∴a+b+c=-2 又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3， ∴当x=-1时y=0即a-b+c=0； x=3时y=0． ∴9a+3b+c=0， 解这三个方程可得：b=-1，a= 1 2 ，c=- 3 2 ； ⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC， 当AB=BC=4时， ∵AO=1，△BOC为直角三角形， 又∵OC的长即为|c|， ∴c2=16-9=7， ∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c=- 7 ， 与2a+b=0、a-b+c=0联立组成解方程组，解得a= 7 3 ； 同理当AB=AC=4时 ∵AO=1，△AOC为直角三角形， 又∵OC的长即为|c|， ∴c2=16-1=15， ∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c=- 15 与2a+b=0、a-b+c=0联立组成解方程组，解得a= 15 3 ； 同理当AC=BC时 在△AOC中，AC2=1+c2， 在△BOC中BC2=c2+9， ∵AC=BC， ∴1+c2=c2+9，此方程无解． 经解方程组可知只有两个a值满足条件． 故正确的有①④．

据专家权威分析，试题“如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点..”主要考查你对  二次函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
  当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。