题文

已知抛物线y=x2+mx-m2（m＞0）与x轴交干A、B两点。 （1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧： （2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式； （3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形，求△ABC的面积。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）证明：∵m＞0， ∴x=-＜0， ∴抛物线的对称轴在y轴的左侧； （2）设抛物线与x轴交点坐标为A（x1，0），B（x2，0）， 则x1+x2=-m＜0，x1·x2=-m2＜0， ∴x1与x2异号， 又， ∴OA＞OB，由（1）知：抛物线的对称轴在y轴的左侧， ∴x1＜0，x2＞0， ∴OA=｜x1｜=-x1，OB=x2代入得：， 即，解得m=2， ∴抛物线的解析式是：y=x2+2x-3； （3）当x=0时，y=-m2 ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-m2） ∵△ABC是直角三角形，AB2=AC2+BC2， ∴（x1-x2）2=x12+（-m2）2+x22+（-m2）2， ∴-2x1·x2=m4， ∴-2（-m2）=m4，解得m=， ∴S△ABC=·｜AB｜·｜OC｜=｜x1-x2｜·｜-m2｜=×2m×m2=。

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=x2+mx-m2（m＞0）与x轴交干A、B两点。（1）求证：抛物线的..”主要考查你对  二次函数的图像，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的图像求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。
  a,b同号，对称轴在y轴左侧
  b=0,对称轴是y轴
  a,b异号，对称轴在y轴右侧
  
  顶点：
  二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )
  当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
  h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
  
  开口：
  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
  当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
  |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

• 决定对称轴位置的因素：
  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
  当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
  当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
  可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。
  事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。