题文

已知x1，x2是关于x的方程（x-2）（x-m）=（p-2）（p-m）的两个实数根． （1）求x1，x2的值； （2）若x1，x2是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）原方程变为：x2-（m+2）x+2m=p2-（m+2）p+2m， ∴x2-p2-（m+2）x+（m+2）p=0， （x-p）（x+p）-（m+2）（x-p）=0， 即（x-p）（x+p-m-2）=0， ∴x1=p，x2=m+2-p； （2）根据（1）得到 直角三角形的面积为 1 2 x1x2= 1 2 p（m+2-p） =- 1 2 p2+ 1 2 （m+2）p =- 1 2 （p- m+2 2 ）2+ (m+2)2 8 ， ∴当p= m+2 2 （m＞-2）时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为 (m+2)2 8 ．

据专家权威分析，试题“已知x1，x2是关于x的方程（x-2）（x-m）=（p-2）（p-m）的两个实数根．（1）..”主要考查你对  二次函数的最大值和最小值  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的最大值和最小值

考点名称：二次函数的最大值和最小值

• 二次函数的最值：
  1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
  当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
  也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
  2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x₁ 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x