某商品的进价为每千克40元,销售单价与月销售量的关系如下(每千克售价不能高于65元):销售单价(元)505356596265月销售量(千克)420360300240180120该商品以每千克50元为售价,-数学

题文

某商品的进价为每千克40元,销售单价与月销售量的关系如下(每千克售价不能高于65元):
销售单价(元) 50 53 56 59 62 65
月销售量(千克) 420 360 300 240 180 120
该商品以每千克50元为售价,在此基础上设每千克的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每千克商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)y=(420-20x)(50+x-40)=-20x2+220x+4200(0<x≤15且x为整数);(5分)

(2)y=-20(x-5.5)2+4805.
∵a=-20<0,
∴当x=5.5时,y有最大值4805.
∵0<x≤15且x为整数
∴x=5或6.
当x=5时,50+x=55,y=4800(元),当x=6时,50+x=56,y=4800(元)
∴当售价定为每件55或56元,每个月的利润最大,最大的月利润是4800元.(5分)

据专家权威分析,试题“某商品的进价为每千克40元,销售单价与月销售量的关系如下(每千克..”主要考查你对  二次函数的最大值和最小值,求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称:二次函数的最大值和最小值

  • 二次函数的最值:
    1.如果自变量的取值范围是全体实数,则当a>0时,抛物线开口向上,有最低点,那么函数在处取得最小值y最小值=
    当a<0时,抛物线开口向下,有最高点,即当时,函数取得最大值,y最大值=
    也即是:如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,
    2.如果自变量的取值范围是,那么,首先要看是否在自变量取值范围内,若在此范围内,则当x=时,;若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当x=x2 时,,当x=x1;如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当x=x1时,,当x=x2 。

考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用

  • 求二次函数的解析式:
    最常用的方法是待定系数法,根据题目的特点,选择恰当的形式,一般,有如下几种情况:
    (1)已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
    (2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
    (3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式;
    (4)已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式。

    二次函数的应用:
    (1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:
    理解题意;
    建立数学模型;
    解决题目提出的问题。
    (2)应用二次函数求实际问题中的最值:
    即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。
    求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。

  • 二次函数的三种表达形式:
    ①一般式:
    y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为 [,]
    把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。

    ②顶点式:
    y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。
    有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
    例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。
    解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。
    注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
    具体可分为下面几种情况:
    当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到;
    当h<0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到;
    当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;
    当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
    当h<0,k>0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;

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