题文

如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28）．动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴，线段AB交于E，F点，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒． （1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积，当t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？ （2）当梯形OPFE的面积等于三角形APF的面积时，求线段PF的长； （3）设t的值分别取t1，t2时（t1≠t2），所对应的三角形分别为△AF1P1和△AF2P2．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）S梯形OPFE= 1 2 （OP+EF）?OE= 1 2 （25+27）×1=26． 设运动时间为t秒时，梯形OPFE的面积为y， 则y= 1 2 （28-3t+28-t）t=-2t2+28t=-2（t-7）2+98， 所以当t=7秒时，梯形OPFE的面积最大，最大面积为98； （2）当S梯形OPFE=S△APF时， -2t2+28t= 3t2 2 ，解得t1=8，t2=0（舍去）． 当t=8秒时，FP=8 5 ； （3）由 AP1 AP2 ≡ AF1 AF2 ≡ t1 t2 ， 且∠OAB=∠OAB， 可证得△AF1P1∽△AF2P2．

据专家权威分析，试题“如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28）．动点P从A点..”主要考查你对  二次函数的最大值和最小值  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的最大值和最小值

考点名称：二次函数的最大值和最小值

• 二次函数的最值：
  1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
  当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
  也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
  2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x