题文

若n是自然数且不是4的倍数，求证：1n+2n+3n+4n能被10整除．

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：设a=1n，b=2n，c=3n，d=4n，因为n不是4的倍数，可设n=4k+1，n=4k+2和n=4k+3． （1）当n=4k+1时，a=14k+1=1，b=24k+1=2?（24）k=2?（16）k， 因为无论k为什么整数，（16）k的个位数都是6，则2?（16）k的个位数必为2， c=34k+1=3?（81）k，因为（81）k的个位数都是1，则3?（81）k的个位数必为3， 同理d=44k+1的个位数是4，故当n=4k+1时，a+b+c+d的个位数是1+2+3+4的个位数，即0， 所以能被10整除； （2）当n=4k+2时，a=14k+2=1，b=24k+2=4?（24）k=4?（16）k， 因为无论k为什么整数，（16）k的个位数都是6，则4?（16）k的个位数必为4， c=34k+2=9?（81）k，因为（81）k的个位数都是1，则9?（81）k的个位数必为9， 同理d=44k+2的个位数是6，故当n=4k+2时，a+b+c+d的个位数是1+4+9+6的个位数，即0， 所以能被10整除； （3）当n=4k+3时，a=14k+3=1，b=24k+3=8?（24）k=8?（16）k， 因为无论k为什么整数，（16）k的个位数都是6，则8?（16）k的个位数必为8， c=34k+3=27?（81）k，因为（81）k的个位数都是1，则27?（81）k的个位数必为7， 同理d=44k+3的个位数是4，故当n=4k+3时，a+b+c+d的个位数是1+8+7+4的个位数，即0， 所以能被10整除； 综上所述，当n不是4的倍数时，1n+2n+3n+4n能被10整除．

据专家权威分析，试题“若n是自然数且不是4的倍数，求证：1n+2n+3n+4n能被10整除．-数学-魔..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。