题文

一本书标有2011页，从第一页开始每11页就在最后一页的页面加注一个红圈，直到末页．然后从末页开始向前，每21页也在最前一页加注一个红圈，直到第一页．问一共有多少页加注了两个红圈？并写出它们的页面号码．

题型：解答题  难度：中档

答案

第一次从前往后加注红圈时，设加注红圈的页码为m， 则m=1+11k，k=1，2，3…，m≤2011．（1） ∴1+11k≤2011，∴1≤k≤182． 第二次从后往前加注红圈时，由2011÷21=95…16，可知这时加红圈的页面号码m就是从第16页开始向后每隔20页加注红圈的页面号码，除了第16页和最末一页（第2011页）是例外，于是第二次加注红圈的页面号码是 m=16+21k′，k′=0，1，2，…，94．（2） 结合（1）（2），于是得到 m=1+11k=16+21k′， ∴k=1+2k′+ 4-k′ 11 ， ∴m=16+21×4=100是两个红圈重合的页面号码之最小者，注意到11与21的最小公倍数[11，21]=231， 因此，两个红圈重合的页面号码是m=100+231n． 由m≤2011，得100+231n≤2011，0≤n≤8， 即n=0，1，2，3，4，5，6，7，8， 故一共有9页加注了两个红圈，分别是第100页，第331页，第562页，第793页，第1024页，第1255页，第1486页，第1717页，第1948页．

据专家权威分析，试题“一本书标有2011页，从第一页开始每11页就在最后一页的页面加注一..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。