题文

从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

题型：解答题  难度：中档

答案

首先，如下61个数：11，11+33，11+2×33，11+60×33（即1991）满足题设条件， 另一方面，设a1＜a2＜an是从1，2，2010中取出的满足题设条件的数， 对于这n个数中的任意4个数ai，aj，ak，am，因为33|（ai+ak+am），33|（aj+ak+am）， 所以33|（aj-ai）， ∴所取的数中任意两数之差都是33的倍数， 设ai=a1+33di，i=1，2，3，n， 由33|（a1+a2+a3），得33|（3a1+33d2+33d3）， 所以33|3a1，11|a1，即a1≥11，dn= an-a1 33 ≤ 2010-11 33 ＜61， 故dn≤60，所以n≤61， 综上所述，n的最大值为61．

据专家权威分析，试题“从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。