题文

n个正整数a1，a2，…，an满足如下条件：1=a1＜a2＜…＜an=2009；且a1，a2，…，an中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．

题型：解答题  难度：中档

答案

设a1，a2，an中去掉ai后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数bi，i=1，2，n．即bi= (a1+a2++an)-ai n-1 ． 于是，对于任意的1≤i＜j≤n，都有bi-bj= aj-ai n-1 ， 从而n-1|（aj-ai）， 由于b1-bn= an-a1 n-1 = 2008 n-1 是正整数， 故n-1|23×251， 由于an-1=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）≥（n-1）+（n-1）+…+（n-1）=（n-1）2， 所以，（n-1）2≤2008，于是n≤45， 结合n-1|23×251，所以，n≤9； 另一方面，令a1=8×0+1，a2=8×1+1，a3=8×2+1，a8=8×7+1， a9=8×251+1，则这9个数满足题设要求． 综上所述，n的最大值为9．

据专家权威分析，试题“n个正整数a1，a2，…，an满足如下条件：1=a1＜a2＜…＜an=2009；且a1，..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。