题文

已知自然数n的所有正约数的和是2n，则所有正约数的倒数和是多少？且证明你的结论．

题型：解答题  难度：中档

答案

正约数的倒数和为2． 设其正约数依次为：x1，x2，x3，x4，…，xm． 其中x1=1，xm=n，则x1+x2+x3+…+xm=2n， ∴ 1 x1 + 1 x2 + 1 x3 +…+ 1 xm-1 + 1 xm ， =（ 1 x1 + 1 xm ）+（ 1 x2 + 1 xm-1 ）+…+（ 1 xi + 1 xm+1-i ）， = x1+xm x1?xm + x2+xm-1 x2?xm-1 +…+ xm+1-i+xi xi?xm+1-i ， = 2n n =2．

据专家权威分析，试题“已知自然数n的所有正约数的和是2n，则所有正约数的倒数和是多少？..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。