题文

已知正整数a满足192|a3+191，且a＜2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和．

题型：解答题  难度：中档

答案

由192|a3+191，可得192|a3-1+192=3×26， 且a3-1=（a-1）[a（a+1）+1]=（a-1）a（a+1）+（a-1）． （5分） 因为a（a+1）+1是奇数， 所以26|a3-1等价于26|a-1， 又因为3|（a-1）a（a+1）， 所以3|a3-1等价于3|a-1． 因此有192|a-1，于是可得a=192k+1． （15分） 又∵0＜a＜2009，所以k=0，1，10． 因此，满足条件的所有可能的正整数a的和为 11+192（1+2+…+10）=10571． （20分）

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有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。