题文

某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．

题型：解答题  难度：中档

答案

“如果某个号码n是幸运券，那么号m=9999-n也是幸运券”，这是解决问题的关键，请你考虑这句话合理性． 若六位数 . 81ab93 是99的倍数，求整数a、b的值． ∵ . 81ab93 能被9整除， ∴8+1+a+b+9+3=21+a+b能被9整除，得3+a+b=9kl（k1为整数）．① 又∵ . 81ab93 能被11整除， ∴8-1+a-b+9-3=13+a-b能被11整除，得2+a-b=11k2（k2为整数）．② ∵0≤a，b≤9， ∴0≤a+b≤18，-9≤a-b≤9， 由①、②两式，得3≤＜9k1≤21，-7≤11k2≤11， 知k1=1，或k1=2；k2=0，或，而3+a+b与2+a-b的奇偶性相异，而k1=2，k2=1不符合题意． 故把k1=1，k2=0代入①、②两式，解方程组可求得a=2，b=4．代入所设6位数．即得到812493． 所以，这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．

据专家权威分析，试题“某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。