题文

（1）一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，则N的最小值是______． （2）若1059、1417、2312分别被自然数x除时，所得的余数都是y，则x-y的值等于（　　） A．15    B．1    C．164    D．174 （3）设N= 11…1 1990个 ，试问N被7除余几？并证明你的结论．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）N+1为2～10的公倍数，要使N最小，取N+1为它的最小公倍数22×32×5×7=2520，故N的最小值为2520-1=2519， （2）设已知三数被自然数x除时，商数分别为a、b、c， ax+y=1059…① bx+y=1417…② cx+y=2312…③ ②-①得：（b-a）x=358，③-②得（c-b）x=895，③-①得（c-a）x=1253， 由此x为358、895、1253的公约数，x=179， 1059÷179=5…164， y=164， x-y=179-164=15． 故选A． （3）111111=7×15873，而1990=6×331+4，故只须考查1111被7除的余数，1111=7×158+5，故N被7除余5．

据专家权威分析，试题“（1）一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。