题文

求所有的正整数对（a，b），使得ab2+b+7整除a2b+a+b．

题型：解答题  难度：中档

答案

由条件ab2+b+7整除a2b+a+b， 显然ab2+b+7|a2b2+ab+b2， 而a2b2+ab+b2=a（ab2+b+7）+b2-7a，故ab2+b+7|b2-7a， 下面分三种情况讨论； 情形一：b2-7a＞0；这时b2-7a＜b2＜ab2+b+7，矛盾； 情形二：b2=7a，此时a，b应具有a=7k2，b=7k，k是正整数的形式，显然（a，b）=（7k2，7k）满足条件； 情形二：b2-7a＜0，这时由7a-b2≥ab2+b+7，则b2＜7， 进而b=1或2，当b=1时，则条件 a2+a+1 a+8 =a-7+ 57 a+8 为正整数， 57能被a+8整除，可知a+8=19或57，进而知a=11或49， 解得（a，b）=（11，1）或（49，1）； 当b=2时，由 7a-4 4a+9 （＜2）为正整数，可知 7a-4 4a+9 =1，此时a= 13 3 ，矛盾； 综上，所有解为（a，b）=（11，1），（49，1）或（7k2，7k）（k是正整数）．

据专家权威分析，试题“求所有的正整数对（a，b），使得ab2+b+7整除a2b+a+b．-数学-”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。