题文

已知两个自然数的积与和之差恰等于它们的最大公约数与最小公倍数之和，求这样的自然数．

题型：解答题  难度：中档

答案

设这两个正整数为ma，na（其中m，n，a都是正整数，且m，n互质）， 所以ma?na-（ma+na）=mna+a， 所以mna=mn+1+m+n， 所以a=（m+1）（n+1）/（mn）， （1）当m，n其中一个为1时，不妨设m=1，所以a=2（n+1）/n， 因为n不等于1（否则两个数相等，不合），所以n不能被（n+1）整除，所以n能被2整除， 所以n=2，此时这两个数为6和3； （2）当m，n都不等于1时，因为m不能被（m+1）整除，n不能被（n+1）整除， 所以n被（m+1）整除，m被（n+1）整除， 所以设m+1=pn，n+1=qm，（p，q为正整数）， 所以m+1=p（qm-1）， 所以m=（p+1）/（pq-1）， 当q≥4时，原式没有正整数解， 所以当q=1时，p=2或3，此时两个数为6和4或6和3； 当q=2时，p=1，此时两个数为6和4； 当q=3时，p=1，此时两个数为6和3． 故答案是：这样的自然数是6和3或6和4．

据专家权威分析，试题“已知两个自然数的积与和之差恰等于它们的最大公约数与最小公倍数..”主要考查你对  有理数除法  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。