题文

已知二次函数。

（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点； （2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式； （3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）因为△=，  所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。 （2） 设x1、x2是的两个根， 则，， 因为两交点的距离是， 所以， 即：， 变形为：， ∴， 整理，得， 解得，， 又因为， 所以， 所以：此二次函数的解析式为。 （3）设点P的坐标为，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于， 所以：AB=， 所以，S△PAB=， 所以，， 即，则， ①当时，，即， 解得，=-2或3， ②当时，，即， 解得，=0或1， 综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是（-2，3），（3，3），（(0， -3）或（1， -3）。

据专家权威分析，试题“已知二次函数。（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，二次函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数的图像

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,