题文

如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求P点坐标及a的值； （2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3， C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式； （3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

题型：解答题  难度：偏难

答案

（1）由抛物线C1：得顶点P的为（-2，-5）        ∵点B（1，0）在抛物线C1上        ∴        解得，a= ； （2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G      ∵点P、M关于点B成中心对称      ∴PM过点B，且PB=MB        ∴△PBH≌△MBG ∴MG=PH=5，BG=BH=3       ∴顶点M的坐标为（4，5）      抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到      ∴抛物线C3的表达式为；  （3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到          ∴顶点N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点N的纵坐标为5             设点N坐标为（m，5）      作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G 作PK⊥NG于K        ∵旋转中心Q在x轴上 ∴EF=AB=2BH=6        ∴FG=3，点F坐标为（m+3，0） H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），      根据勾股定理得 PN2=NK2+PK2=m2+4m+104           PF2=PH2+HF2=m2+10m+50          NF2=52+32=34          ①当∠PNF=90。时，PN2+ NF2=PF2，解得m=，∴Q点坐标为（，0）        ②当∠PFN=90。时，PF2+ NF2=PN2，解得m=，∴Q点坐标为（，0）        ③∵PN＞NK=10＞NF，∴∠NPF≠90。综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，            以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．

据专家权威分析，试题“如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，二次函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数的图像

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；