题文

如图，直线y=kx-1与抛物线y=ax2+bx+c交于点A（-3，2）、B（0，-1），抛物线的顶点为C（-1，-2），对称轴交直线AB于点D，连接OC。

（1）求k的值及抛物线的解析式； （2）若P为抛物线上的点，且以P、A、D三点构成的三角形是以线段AD为一条直角边的直角三角形，请求出满足条件的点P的坐标； （3）在（2）的条件下所得到三角形是否与△COD相似？请你直接写出判断结果（不必写出证明过程）。

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）∵直线y=kx-1经过A（-3，2），          ∴2=-3k-1，即k=-1，    把A（-3，2）、B（0，-1）、C（-1，-2）代入y=ax2+bx+c，得    ，解得：|    ∴抛物线的解析式为：y=x2+2x-1。
（2）由得D（-1，0），即点D在x轴上，    且，    ∴△BDO为等腰直角三角形，    ∴∠BDO=45°， ①过点D作⊥AB，交y轴于E，交抛物线于P1、P2两点， 连结P1A、P2A，则△P1AD、△P2AD都是满足条件的直角三角形。 ∵∠EDO=90°-∠BDO=45°， ∴，∴点E（0，1）， ∴直线的解析式为y=x+1。 由，解得或， ∴满足条件的点为P1（-2，-1），P2（1，2）。 ②过点A作⊥AB，交抛物线与另一点P3，连结P3D， 则△P3AD是满足条件的直角三角形， ∵∥，且过点A（-3，2）， ∴的解析式为y=x+5， 由，解得，（舍去） ∴P3的坐标为（2，7）。 综上所述，满足条件的点为P1（-2，-1）、P2（1，2）、P3（2，7）。
（3）判断结果如下：    △P1AD∽△OCD；    △P2AD与△OCD不相似；    △P3AD与△OCD不相似。

据专家权威分析，试题“如图，直线y=kx-1与抛物线y=ax2+bx+c交于点A（-3，2）、B（0，-1），..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，直角三角形的性质及判定，相似三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用直角三角形的性质及判定相似三角形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。