题文

矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（0，3），直线与BC边相交于点D。

（1）求点D的坐标； （2）若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的函数表达式； （3）若P为x轴上方（2）中抛物线上一点，求△POA面积的最大值； （4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的Q点的坐标。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）直线与BC交于点D（x，3）， 把y=3代入中得，x=4， ∴D（4，3）。 （2）∵抛物线y=ax2+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点， 把x=4，y=3；x=6，y=0分别代入y=ax2+bx中得， ，解得：， ∴抛物线的解析式为：。 （3）因△POA底边OA=6， ∴当S△POA有最大值时，点P须位于抛物线的最高点， ∵<0， ∴抛物线顶点恰为最高点， ∵， ∴的最大值为。
（4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件， ∵CB∥OA，∠Q1OM=∠CDO， ∴Rt△Q1OM∽Rt△CDO， ∵，该点坐标为Q1（3，0）， 过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点Q2， ∵对称轴平行于y轴， ∴∠Q2MO=∠DOC，  ∴Rt△Q2MO∽Rt△DOC， 在Rt△Q2Q1O和Rt△DCO中， Q1O=CO=3，∠Q2=∠ODC， ∴Rt△Q2Q1O≌Rt△DCO， ∴CD=Q1Q2=4， ∵点Q2位于第四象限， ∴Q2（3，-4）， 因此，符合条件的点有两个， 分别是Q1（3，0），Q2（3，-4）。

据专家权威分析，试题“矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，一次函数的图像，矩形，矩形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用一次函数的图像矩形，矩形的性质，矩形的判定相似三角形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
  已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
  
  由一般式变为交点式的步骤：
  二次函数
  ∵x₁+x₂=-b/a， x₁?x₂=c/a(由韦达定理得),
  ∴y=ax2+bx+c
  =a(x2+b/ax+c/a)
  =a[x2-(x₁+x₂)x+x₁?x