题文

如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？ （2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由； （3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）设正方形的边长为xcm，   则．   即．   解得（不合题意，舍去），．   ∴剪去的正方形的边长为1cm． （2）有侧面积最大的情况．   设正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系式为：     ．   即．（ ）   改写为．   当时，．   即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2． （3）有侧面积最大的情况．   设正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2．   若按图1所示的方法剪折，则y与x的函数关系式为：    ．   即．   当时，．   若按图2所示的方法剪折，则y与x的函数关系式为：    ．   即．   当时，．  比较以上两种剪折方法可以看出，  按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时， 折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2．

据专家权威分析，试题“如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，一元二次方程的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用一元二次方程的应用

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。