题文

已知二次函数y=x2-mx+m-2。 （1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点； （2）当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式； （3）将直线y=x向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A、B两点（点A在点B的左边），一个动点P自点A出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后到达点B，求使点P运动的总 路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）令y=0，则x2-mx+m-2=0， ∵△=（-m）2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4， 又∵（m-2）2≥0， ∴（m-2）2+4>0， 即△>0， ∴无论m为任何实数，一元二次方程x2-mx+m-2=0总有两不等实根， ∴该二次函数图象与x轴都有两个交点； （2）∵二次函数y=x2-mx+m-2的图象经过点（3，6）， ∴32-3m+m-2=6， 解得m=， ∴二次函数的解析式为；
（3）如图，将y=x的图象向下平移2个单位长度后， 其解析式为：y=x-2， 解方程组 得  ∴直线y=x-2与抛物线y=x2-x-的交点为A（，），B（1，-1）， ∴点A关于对称轴x=的对称点是A′（0，-）， 点B关于x轴的对称点是B′（1，1）， 设过点A′B′的直线解析式为y=kx+b， ∴解得 ∴直线A′B′的解析式为y=x- ∴直线A′B′与x轴的交点为F（，0）， 与直线x=的交点为E（，-）， 则点E（，-）、F（，0）为所求， 过点B′作B′H ⊥AA′于点H， ∴B′H=，HA′=1， 在Rt△A′B′H中， ∴所求最短总路径的长为AE+EF+FB=A′B′=。

据专家权威分析，试题“已知二次函数y=x2-mx+m-2。（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，二次函数与一元二次方程，轴对称，勾股定理，平移  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数与一元二次方程轴对称勾股定理平移

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]