题文

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是。

（1）求点B的坐标； （2）求过点A、O、B的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； （4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）由题意OB=，得OB=2，∴B（-2，0）； （2）设抛物线的解析式为y=ax（x+2），代入点A（1，），得a=， ∴经过A、O、B三点的抛物线是y=； （3）存在点C ∵点O关于对称轴的对称点是B， ∴对称轴与AB的交点就是存在的点C，使得△AOC的周长最小，AB+AO就是△AOC的最小周长 设直线AB的解析式为y=ax+b（a≠0），用待定系数法将A、B的坐标代入可求得 a=，b=，∴y=， ∵抛物线的对称轴为x=-1， ∴将x=-1代入AB的解析式即可得到点C的坐标（-1，）； （4）存在； 设P（x，y），由条件知x＜0，y＜0， ∵SBPOD=S△BPO+S△BOD = = =- = ∴S△AOD=S△AOB-S△BOD=， ①若S△AOD=SBPOD 得， 解得（舍去）， 将代入抛物线的解析式可得y=， ∴P， ②若S△BOD=SBPOD， ∵S△BOD=， ∴， 解得，分别代入抛物线的解析式可得， ∴P或P（-2，0）， ∵点P在轴下方， ∴P（-2，0）不符合题意舍去， ∴只存在一个点P（-，-）符合条件

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是。（1..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，三角形的周长和面积，用坐标表示位置  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用三角形的周长和面积用坐标表示位置

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；