题文

如图：在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（-1，0）。C以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的正半轴交于点C。

（1） 求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数解析式； （2） 设M为（1）抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式； （3） 试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）连结PC， ∵A（4，0）、B（-1，0）， ∴AB=5， ∴PC=OP=OA-PA=4-=，OC=2， ∴C（0，2）， 设经过A、C、B三点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4）， 将C（0，2）代入得2=a（0-4）（0+1）， ∴a=-， ∴y=-（x+1）（x-4）即y=-x2+x+2； （2）由y=-x2+x+2=-（x-）2+， ∴M（，）， 设直线CM的解析式为y=kx+2，将M（，）代入解得k=，∴y=x+2； （3）结论：直线CM与⊙P相切。 证明：设MC与x轴相交于点N，由y=0解得x=-， ∴ON=PN=+=，NC=， ∴CN2+PC2=PN2即（）2+（）2=（）2， ∴∠PCN=90°， ∴MC与⊙P相切。

据专家权威分析，试题“如图：在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（-1，0）。C以AB的中点P为圆..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]