题文

如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1，0），B（-1，2），D（3，0），连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线经过点D、M、N。

（1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC与x轴的交点， ∴M（0，2）， ∵DM∥ON，D（3，0）， ∴N（-3，2），则，解得， ∴； （2）连接AC交y轴与G， ∵M是BC的中点， ∴AO=BM=MC，AB=BC=2， ∴AG=GC，即G（0，1）， ∵∠ABC=90°， ∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上， ∴点P为直线BG与抛物线的交点， 设直线BG的解析式为y=kx+b，则，解得， ∴y=-x+1， ∴，解得， ∴P或P； （3）∵， ∴对称轴x=-， 令，解得，∴E（-6，0）， 故E、D关于直线x=-对称， ∴QE=QD， ∴|QE-QC|=|QD-QC|， 要使|QE-QC|最大，则延长DC与x=-相交于点Q，即点Q为直线DC与直线x=-的交点， 由于M为BC的中点，∴C（1，2），设直线CD的解析式为y=kx+b， 则，解得，∴y=-x+3， 当x=-时，y=x+3=， 故当Q在（，）的位置时，|QE-QC|最大， 过点C作CF⊥x轴，垂足为F，则CD=。

据专家权威分析，试题“如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，二次函数的最大值和最小值，垂直平分线的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数的最大值和最小值垂直平分线的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax