题文

在△ABC中，∠BAC=90°，AB<AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交于点N，动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动，同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP，设运动时间为t秒（t>0）。

（1）△PBM与△PNM相似吗？以图1为例说明理由； （2）若∠ABC=60°，AB=4厘米， ①求动点Q的运动速度； ②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式； （3）探求三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1），理由如下：如图1， ∵∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴BC=2AB=8cm， 又∵MN垂直平分BC， ∴BM=CM=4cm， ∵∠C=30°，∴MN=CM=4cm， ①设Q点的运动速度为vcm/s， 如图1，当0<t<4时，由（1）知， ∴，即，∴v=1， 如图2，易知当t≥4时，v=1， 综上所述，点Q运动速度为1cm/s； ② ∵AN=AC-NC=12-8=4cm， 如图1，当0<t<4时，AP=4-t，AQ=4+t， ∴， 如图2，当t≥4时，AP=，AQ=4+t， ∴， 综上所述，； （3） 理由如下： 如图1，延长QM至D，使MD=MQ，连结BD、PD， ∵BC、DQ互相平分， ∴四边形BDCQ是平行四边形， ∴， ∵∠BAC=90°， ∴∠PBD=90°， ∴， ∵PM垂直平分DQ， ∴PQ=PD， ∴。

据专家权威分析，试题“在△ABC中，∠BAC=90°，AB<AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交于点N，..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，勾股定理，相似三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用勾股定理相似三角形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。