题文

如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上），若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1。 （1）求B点坐标；? （2）求证：ME是⊙P的切线；? （3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，①求△ACQ周长的最小值；②若FQ=t，S△ACQ=s，直接写出s与t之间的函数关系式。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n， ∵正方形CDEF的面积为1， ∴CD=CF=1， 根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n， ∴BC=2PC=2n， ∵而PB=PE， ∴PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2， PE2=PF2+EF2=（n+1）2+1， ∴5n2=（n+1）2+1， 解得：n=1（n=舍去）， ∴BC=OC=2， ∴B点坐标为（2，2）；
（2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0）， ∵A，C在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：， 即 ∴抛物线的对称轴为x=3，即EF所在直线， ∵C与G关于直线x=3对称， ∴CF=FG=1， ∴MF=FG=， 在Rt△PEF与Rt△EMF中， ， ∴， ∴△PEF∽△EMF， ∴∠EPF=∠FEM， ∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°， ∴ME是⊙P的切线；
（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=A′Q， ∴△ACQ周长的最小值为（AC+A′C）的长， ∵A与A′关于直线x=3对称， ∴A（0，2），A′（6，2）， ∴A′C=， 而AC=， ∴△ACQ周长的最小值为； ②当Q点在F点上方时，S=t+1， 当Q点在线段FN上时，S=1-t， 当Q点在N点下方时，S=t-1。	图乙

据专家权威分析，试题“如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，勾股定理，正方形，正方形的性质，正方形的判定，直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离），圆的认识  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用勾股定理正方形，正方形的性质，正方形的判定直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）圆的认识

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；