题文

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在边上的点D处，点A、D的坐标分别为（5，0）和（3，0）。 （1）求点C的坐标； （2）求DE所在直线的解析式； （3）设过点C的抛物线（b<0）与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点G，使得△CMG为等边三角形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）根据题意，得CD=CB=OA=5，OD=3， ∵∠COD=90°， ∴OC= ∴点C的坐标是（0，4）； （2）∵AB=OC=4，设AE=x，则DE=BE=4-x，AD=OA-OD=5-3=2， 在Rt△DEA中，DE2=AD2+AE2 ∴（4-x）2=22+x2 解之，得x=，即点E的坐标是（5，）， 设DE所在直线的解析式为y=kx+b， ∴解之，得 ∴DE所在直线的解析式为； （3）∵点C（0，4）在抛物线上， ∴c=4， 即抛物线为 假设在抛物线上存在点G，使得△CMG为等边三角形， 根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点G一定在该抛物线的顶点上，设点G的坐标为（m，n）， ∴，n=， 即点G的坐标为 设对称轴x=-与直线CB交于点F，与x轴交于点H， 则点F的坐标为（-，4）， ∵b＜0， ∴m＞0， 点G在y轴的右侧，DF=m=-，FH=4，FG=4- ∵CM=CG=2CF=-， ∴在Rt△CGF中，CG2=CF2+FG2， 解之，得b=-2，（∵b＜0） ∴m=-，n=， ∴点G的坐标为， ∴在抛物线上存在点G，使得△CMG为等边三角形。

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，等边三角形，勾股定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用等边三角形勾股定理

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]