题文

如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2。

（1）求点A的坐标； （2）求该抛物线的函数表达式； （3）连结AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）解依题意得，解之得， ∴A（6，-3），B（-4，2）；
（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图） 由（1）可知：OA=3，OB=2， ∴AB=5， ∴OM=AB-OB=， 过B作BE⊥x轴，E为垂足， 由△BEO∽△OCM，得：， ∴OC=， 同理：OD=， ∴C（，0），D（0，）， 设CD的解析式为y=kx+b（k≠0） ∴，∴ ∴AB的垂直平分线的解析式为y=2x-；
（3）若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线上，并设该直线与x轴，y轴交于G，H两点（如图） ∴，∴， ∵抛物线与直线只有一个交点， ∴， ∴m=，∴P（1，） 在直线GH：中， ∴， ∴GH=， 设O到GH的距离为d， ∴， ∴， ∴d=， ∵AB∥GH， ∴P到AB的距离等于O到GH的距离d， ∴。

据专家权威分析，试题“如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，相似三角形的性质，用坐标表示位置  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用相似三角形的性质用坐标表示位置

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。