题文

如图，△AOC在平面直角坐标系中，∠AOC=90°，且O为坐标原点，点A、C分别在坐标轴上，AO=4，OC=3，将△AOC绕点C按逆时针方向旋转，旋转后的三角形记为△CA′O′。

（1）当CA边落在y轴上（其中旋转角为锐角）时，一条抛物线经过A、C两点且与直线AA′相交于x轴下方一点D，如果S△AOD=9，求这条抛物线的解析式； （2）继续旋转△CA′O′，当以CA′为直径的⊙P与（1）中抛物线的对称轴相切时，圆心P是否在抛物线上，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）在Rt△AOC中，∵AO=4，OC=3， ∴AC=5， 由旋转可知：A'C=AC=5， ∴A'O=A'C-OC=2， ∴A（-4，0），C（0，3），A'（0，-2）， 可求得直线AA'的解析式为y=-x-2， 抛物线与直线AA'交于点D，设点D（x，y）， ∵， ∴，解得y=-， 将y=-代入y=-x-2，得x=5， ∴D（5，-）， ∵抛物线过A、C、D三点， ∴可求得抛物线的解析式为；
（2）由得对称轴为x=-， ∵⊙P与抛物线的对称轴相切，可有两种情况： 情况1：如图②，过点P向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点E， 交y轴于点F，点P到对称轴的距离PE等于⊙P的半径，即PE=，PF=2，CF==， ∴FO=CO-CF=， ∴P（2，）， ∵点P的坐标满足， ∴点P在抛物线上； 情况2：如图③，过点P′向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点E'，交轴于点F'， 同理可求得点P'（2，）， ∵点坐标P'不满足抛物线， ∴此点P′不在抛物线上。

据专家权威分析，试题“如图，△AOC在平面直角坐标系中，∠AOC=90°，且O为坐标原点，点A、..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，勾股定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用勾股定理

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；