题文

已知函数y1=x，y2=x2+bx+c，α，β为方程y1-y2=0的两个根，点M（t，T）在函数y2的图象上。 （Ⅰ）若，，求函数y2的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为时，求t的值； （Ⅲ）若0<α<β<1，当0<t<1时，试确定T，α，β三者之间的大小关系，并说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（I）∵y1=x，y2=x2+bx+c，y1-y2=0， ∴x2+（b-1）x+c=0， 将分别代入x2+（b-1）x+c=0，得 ，， 解得， ∴函数y2的解析式为； （Ⅱ）由已知，得，设△ABM的边AB上的高为h， ∴，即， 根据题意，|t-T|=， 由得， 当，解得， 当，解得， ∴t的值为； （Ⅲ）由已知，得 α=α2+bα+c，β=β2+bβ+c，T=t2+bt+c， ∴T-α=（t-α）（t+α+b） T-β=（t-β）（t+β+b）， α-β=（α2+bα+c）-（β2+bβ+c）， 化简得（α-β）（α+β+b-1）=0 由0<α<β<1，得α-β≠0， α+β+b-1=0， 有α+b=1-β>0，β+b=1-α>0， 又0<t<1，∴t+α+b>0，t+β+b>0， ∴当0<t≤α时，T≤α<β； 当α<t≤β时，α<T≤β； 当β<t<1时，α<β<T。

据专家权威分析，试题“已知函数y1=x，y2=x2+bx+c，α，β为方程y1-y2=0的两个根，点M（t，..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，三角形的周长和面积  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用三角形的周长和面积

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。