新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机,及时调整投资方向,瞄准光伏产业,建成了太阳能光伏电池生产线,由于新产品开发初期成本高,且市场占有率不高等因素的影响,产-九年级数学

题文

新星电子科技公司 积极应对2008年世界金融危机,及时调整投资方向,瞄准光伏产业,建成了太阳能光伏电池生产线,由于新产品开发初期成本高,且市场占有率不高等因素的影响,产品投产上市一年来,公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程(公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次),公司累积获得的利润y(万元)与销售时间第x月之间的函数关系(即前x个月的利润总和y 与x之间的关系)对应的点都在如图所示的图象上,该图象从左至右,依次是线段OA、曲线AB和曲线BC,其中曲线AB为抛物线的一部分,点A为该抛物线的顶点,曲线BC为另一抛物线y=-5x2+205x-1230的一部分,且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12。
(1)求该公司累积获得的利润y(万元)与时间第x月之间的函数关系式;
(2)直接写出第x个月所获利润s(万元)与时间x(月)之间的函数关系式(不需要写出计算过程);(3)前12个月中,第几个月该公司所获得的利润最多? 最多利润是多少万元?

题型:解答题  难度:偏难

答案

解:(1)设直线OA的方程为y=kx,
则由(0,0),(4,-40)在该直线上,
得-40=k.4,即k=-10,
∴y=-10x,
设曲线AB所在的抛物线方程为y=a(x-4)2-40,
由于点B 在抛物线y=-5x2+205x-1230上,
设B(10,m),则m=320,
由于B(10,320)在曲线AB所在的抛物线上,
故320=a·(10-4)2-40,
∴a=10,
即y=10(x-4)2-40=10x2-80x+120,

 (x=4可归为第2段,x=10也可归为第2段)
(2)
(3)由(2)知,x=1,2,3,4时,s均为-10;
x =5,6,7,8,9时,s=20x-90,
在x=9时,s有最大值90,而在x=10,11,12时,s=-10x+210,
在x=10时,s有最大值110,故在x=10时,s有最大值110,
即第10个月公司所获得的利润最多,最多利润是110万元。

据专家权威分析,试题“新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机,及时调整投资方向..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用

  • 求二次函数的解析式:
    最常用的方法是待定系数法,根据题目的特点,选择恰当的形式,一般,有如下几种情况:
    (1)已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
    (2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
    (3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式;
    (4)已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式。

    二次函数的应用:
    (1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:
    理解题意;
    建立数学模型;
    解决题目提出的问题。
    (2)应用二次函数求实际问题中的最值:
    即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。
    求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。

  • 二次函数的三种表达形式:
    ①一般式:
    y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为 [,]
    把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。

    ②顶点式:
    y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。
    有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
    例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。
    解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。
    注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
    具体可分为下面几种情况:
    当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到;
    当h<0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到;
    当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;
    当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
    当h<0,k>0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
    当h<0,k<0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

    ③交点式:
    y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线,即b2-4ac≥0] .
    已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0),我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

    由一般式变为交点式的步骤:
    二次函数
    ∵x1+x2=-b/a, x1?x2=c/a(由韦达定理得),
    ∴y=ax2+bx+c
    =a(x2+b/ax+c/a)
    =a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]
    =a(x-x1)(x-x2).
    重要概念:
    a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;
    a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
    a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
    能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;
    能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;
    能熟练地运用二次函数解决实际问题。

  • 二次函数的其他表达形式:
    ①牛顿插值公式:
    f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距) 
    二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

    双根式
    y=a(x-x1)*(x-x2)
    若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2,则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。

    ③三点式
    已知二次函数上三个点,(x1,f(x1))(x2,f(x2))(x3,f(x3))
    则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)
    与X轴交点的情况
    当△=b2-4ac>0时,函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x
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