如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）。（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当-九年级数学
题文
如图， 已知抛物线 与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）。（1）求抛物线的解析式； （2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标； （3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由。 |
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答案
解：（1）∵二次函数 的图像经过点A（2，0）C（0，-1） ∴  解得：b=-  ，c=-1，∴二次函数的解析式为  ； |
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| （2）设点D的坐标为（m，0）（0＜m＜2） ∴OD=m， ∴AD=2-m， 由△ADE∽△AOC得，  ∴  ，∴DE=  ，∴△CDE的面积=  ×m = ，当m=1时，△CDE的面积最大， ∴点D的坐标为（1，0）； |
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（3）存在 由（1）知：二次函数的解析式为 设y=0，则  解得：x1=2，x2=-1， ∴点B的坐标为（-1，0） C（0，-1）， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， ∴  解得：k=-1，b=-1， ∴直线BC的解析式为：y=-x-1， 在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=2，OC=1， 由勾股定理得：AC=  ，∵点B（-1，0），点C（0，-1）， ∴OB=OC，∠BCO=45°， ①当以点C为顶点且PC=AC=  时，设P（k，-k-1） 过点P作PH⊥y轴于H， ∴∠HCP=∠BCO=45°，CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中，k2+k2=  解得k1=  ，k2=- ，∴P1（ ，- ），P2（- ， ），②以A为顶点，即AC=AP=  设P（k，-k-1）， 过点P作PG⊥x轴于G， AG=∣2-k∣，GP=∣-k-1∣， 在Rt△APG中，AG2+PG2=AP2 （2-k）2+（-k-1）2=5 解得：k1=1，k2=0（舍） ∴P3（1，-2）， ③以P为顶点，PC=AP， 设P（k，-k-1）， 过点P作PQ⊥y轴于点Q，PL⊥x轴于点L， ∴L（k，0）， ∴△QPC为等腰直角三角形，PQ=CQ=k， 由勾股定理知，CP=PA=  k，∴AL=∣k-2∣，PL=｜-k-1｜， 在Rt△PLA中，（  k）2=（k-2）2+（k+1）2 解得：k=  ∴P4（  ，- ），综上所述： 存在四个点：P1（  ，- ） P2（- ， ） P3（1， -2） P4（ ，- ）。 |
上一篇：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°，点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边-九年级数学
下一篇：如图，已知：一次函数：y=-x+4的图像与反比例函数：（x＞0）的图像分别交于A、B两点，点M是一次函数图像在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，-九年级数学
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