题文

如图所示，已知抛物线的图象与y轴相交于点B（0，1），点C（m，n）在该抛物线图象上，且以BC为直径的⊙M恰好经过顶点A。 （1）求k的值； （2）求点C的坐标； （3）若点P的纵坐标为t，且点P在该抛物线的对称轴l上运动，试探索： ①当S1＜S＜S2时，求t的取值范围（其中：S为△PAB的面积，S1为△OAB的面积，S2为四边形OACB的面积）； ②当t取何值时，点P在⊙M上。（写出t的值即可）

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵点B（0，1）在的图象上， ∴， ∴k=1；
（2）由（1）知抛物线为： ∴顶点A为（2，0）， ∴OA=2，OB=1， 过C（m，n）作CD⊥x轴于D，则CD=n，OD=m， ∴AD=m-2， 由已知得∠BAC=90°， ∴∠CAD+∠BAO=90°， 又∠BAO+∠OBA=90°， ∴∠OBA=∠CAD， ∴Rt△OAB∽Rt△DCA， ∴，即（或tan∠OBA= tan∠CAD，，即）， ∴n=2（m-2）； 又点C（m，n）在上， ∴ ∴， 即 ∴m=2或m=10； 当m=2时，n=0， 当m=10时，n=16； ∴符合条件的点C的坐标为（2，0）或（10，16）；
（3）①依题意得，点C（2，0）不符合条件， ∴点C为（10，16）， 此时， 又点P在函数图象的对称轴x=2上， ∴P（2，t），AP=|t| ∴=|t|， ∵， ∴当t≥0时，S=t， ∴1<t<21， ∴当t<0时，S=-t， ∴-21<t<-1， ∴t的取值范围是：1<t<21或-21<t<-1， ②t=0，1，17。

据专家权威分析，试题“如图所示，已知抛物线的图象与y轴相交于点B（0，1），点C（m，n）在该..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，圆心角，圆周角，弧和弦，点与圆的位置关系，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用圆心角，圆周角，弧和弦点与圆的位置关系相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；