题文

已知关于x的方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0。 （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）若关于x的二次函数y= mx2-（3m-1）x+2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式； （3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）分两种情况讨论： ①当m=0 时，方程为x-2=0， ∴x=2 方程有实数根； ②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式 △=[-（3m-1）]2-4m（2m-2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0 不论m为何实数，△≥0成立， ∴方程恒有实数根综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根；
（2）设x1，x2为抛物线y= mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标， 则有x1+x2=，x1·x2= 由| x1-x2|====， 由| x1-x2|=2得=2， ∴=2或=-2 ∴m=1或m= ∴所求抛物线的解析式为：y1=x2-2x或y2=-x2+2x- 即y1= x（x-2）或y2=-（x-2）（x-4） 其图象如右图所示；
（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围， 当y1=y时，得x2-3x-b=0，△=9+4b=0，解得b=-； 同理，可得△=9-4（8+3b）=0，得b=-， 观察函数图象可知当b<-或b>-时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点， 由 当y1=y2时，有x=2或x=1 当x=1时，y=-1， 所以过两抛物线交点（1，-1），（2，0）的直线y=x-2， 综上所述可知：当b<-或b>-或b=-2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点。

据专家权威分析，试题“已知关于x的方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0。（1）求证：无论m取任何实数时..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，一次函数的图像，一元二次方程的解法，二次函数的图像  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用一次函数的图像一元二次方程的解法二次函数的图像

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。