题文

如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）。

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标； （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1，设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），用含S的代数式表示，并求出当S=36时点A1的坐标； （3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）对称轴：直线x=1； 解析式：或； 顶点坐标：M（1，）； （2）由题意得， 3， 得：①， ， 得：②， 把②代入①并整理得：（S＞0）， 当s=36时，，解得：， 把代入抛物线解析式得， ∴点A1（6，3）； （3）存在， 易知直线AB的解析式为， 可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为， ∴BD=5，DE=，DP=5-t，DQ=t， 当PQ∥AB时，， 得， 下面分两种情况讨论：设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G， ①当0<时，如图1-1， ∵△FQE∽△FAG， ∴∠FGA=∠FEQ， ∴∠DPQ=∠DEB， 易得△DPQ∽△DEB， ∴， ∴得， ∴（舍去）； ②当时，如图1-2， ∵△FQE∽△FAG， ∴∠FAG=∠FQE， ∵∠DQP=∠FQE，∠FAG=∠EBD， ∴∠DQP=∠DBE易得△DPQ∽△DEB， ∴， ∴， ∴， 当秒时，使直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形 与直线PQ、直线|AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似。

据专家权威分析，试题“如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，二次函数的图像，平行线的性质，平行线的公理，相似三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：